INDICE
1. Introducción
2. Formulas de integración de Newton - Cotes
3. Método trapezoidal
4. regla de Simpson 1/3
5. Regla de Simpson 3/8
6. Cuadratura de Gauss
7. Formula de cuadratura de Gauss
8. Conclusión
9. Bibliográficas


INTRODUCCIÓN
La integración numérica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y en la ingeniería para obtener valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente.

MÉTODOS:

Métodos de integración numérica
1.Formulas de integración de Newton-Cotes
1.1 Regla trapezoide
1.2 Regla de Simpson Regla

• Regla de 1/3
• Regla de 3/8

2. Integración de Romberg

• Método de extrapolación de Richadson

FORMULAS DE INTEGRACION DE NEWTON - COTES

• Para estimar 𝐼 =  ∫a b 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, los métodos de Newton – Cotes funcionan en general en dos pasos: 

1. Se divide el intervalo [a, b] en n intervalos de igual amplitud, cuyos valores extremos son sucesivamente 

𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖 (𝑏−𝑎/ 𝑛) , 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 

Para quedar en la nueva notación 𝑥0 = 𝑎 y 𝑥𝑛 = 𝑏 

2. Se aproxima 𝑓(𝑥) por un polinomio de grado n; 𝑃𝑛(𝑥) y se integra para obtener la aproximación de I. 

Es evidente que se obtendrán valores diferentes de I para distintos valores de n, como se muestra a continuación.

METODO TRAPEZOIDAL

En el caso de n = 1, el intervalo de integración [a, b] queda tal cual y 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑏; la aproximación polinomial de f(x) es una línea recta (un polinomio de primer grado p(x)) y la aproximación a la integral es el área de trapezoide bajo esta línea recta, como se ve en la figura. Este método de integración se llama regla trapezoidal.

Procedimiento 

Para llevar a cabo la integración ∫x0-x1 𝑝𝐼 (𝑥) 𝑑𝑥 es preciso seleccionar una de las formas de representación del polinomio 𝑝𝐼 𝑥 , entonces se tendrá:
𝑓(𝑥) ≈ 𝑝𝐼(𝑥)
Donde 𝑝𝐼 𝑥 es:
                       𝑝𝐼 𝑥 = 𝑝1 𝑥0 + 𝑠ℎ = 𝑓 𝑥0 + sΔ𝑓(𝑥0)

Se reemplaza 𝑝𝐼 𝑥 en la integral y se tiene:




Se llega finalmente a න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ ℎ 2 𝑓 𝑥0 + 𝑓(𝑥1) ≈ (𝑏 − 𝑎) 𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏) 2

EJEMPLO:

REGLA DE SIMPSON

REGLA  DE SIMPSON 1/3

Si n = 2; esto es, el intervalo de integración [a, b] se divide en dos subintervalos, se tendrán tres abscisas dadas por la ecuación 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖 (𝑏−𝑎/ 𝑛), como:
𝑥0 = 𝑎
𝑥1 = 𝑥0 + 1 (𝑏 − 𝑎/ 2) = 𝑎 + 𝑏/2 − 𝑎/2 = 1/2 (𝑏 − 𝑎)
𝑥2 = 𝑏 •

Se aproxima f(x) con una parábola [un polinomio de segundo grado pix)], y la aproximación a la integral será el área bajo el segmento de parábola comprendida entre f(xo) y f(x2). Esto es:
∫a,𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ ℎ/3 ⦍𝑓 (𝑥0) + 4𝑓 (𝑥1) + 𝑓(𝑥2)⦎ 

EJEMPLO:

REGLA DE SIMPSON 3/8

De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo:

𝐼 = ∫ 𝑎 𝑏 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 ≅ ∫ 𝑎 𝑏 𝑓3 (𝑥) 𝑑𝑥

Para obtener:

 𝐼 = 3ℎ 8 (𝑓 𝑥0 + 3𝑓 𝑥1 + 3𝑓 𝑥2 + 𝑓 𝑥3 , donde h=(b-a)/3.
Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes.La regla 3/8 se expresa también en la forma de la ecuación:

EJEMPLO:

CUADRATURA DE GAUSS
La cuadratura de Gauss propone una formula general en la que los puntos incluidos no son fijos como en las formulas de Newton – Cotes:

Una cuestión importante es que el método de Gauss puede extenderse a tres o más puntos; por ejemplo, si se escogen tres puntos no equidistantes en el segmento de la curva f(z) comprendida entre – 1 y 1, se podría pasar una parábola por los tres como en la regla de Simpson, excepto en que dichos puntos se escogería de modo que minimicen o anulen el error.

EJEMPLO:

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

La derivada de una función tiene muchas aplicaciones, entre las cuáles esta la determinación de la velocidad instantánea de una partícula o móvil a partir de su función de posición. Este proceso es en ocasiones algo muy sencillo cuando se cuenta con dicha función, pero cuando se requiere solucionar el mismo problema con un conjunto de datos discretos y no con su función, el procedimiento no puede ser llevado de igual manera, es decir, el calculo no nos da una solución directa, por lo tanto se debe recurrir a otro tipo de análisis.

La derivada de una función fi en X0 , esta definido de la siguiente manera: 

Para valores pequeños de , podemos aproximar la derivada de 𝑓𝑖 en 𝑥0 de la siguiente manera: 

Notaremos la aproximación a la derivada de una función f como f’

TABLA PARA APROXIMACIÓN DE DERIVADAS

Derivadas de orden superior

Sumando las ecuaciones anteriores y despejando obtenemos:



Procediendo de la misma forma es posible encontrar aproxiamciones que usen diferentes puntoa y aproximaciones para derivadas de orden superios. La tabla siguiente presenta algunas de las formulas mas comunes para calcular derivadas de roden superior.

CONCLUSIÓN
En esta unidad aprendimos los diferentes métodos de diferenciación e integración o podemos observar si son variados y si queremos desarrollar mas nuestras habilidad de mejorara lahora de hacer estos ejercicios para realizar el procedimiento de estos métodos, debemos de practicar mas y así poder tener una mejor facilidad a la hora de resolver estos ejercicios.

BIBLIOGRAFIAS

https://es.slideshare.net/LuisAguilarCruz/regla-de-simpson-tres-octavos

https://sites.google.com/site/ittgmetodosnumericos/unidad-5-derivacion-e-integracion-numerica